Eslatma: har bir chegaralangan ketma-ketlikda konvergent quyi ketma-ketlik borligi rost va bundan tashqari, har bir monotonik ketma-ketlik chegaralangan boʻlsa, yaqinlashadi. Qoʻshildi Chegaralangan monoton ketma-ketliklarning kafolatlangan yaqinlashuvi haqida qoʻshimcha maʼlumot olish uchun Monoton konvergentsiya teoremasi boʻlimiga qarang.
Har bir chegaralangan ketma-ketlik R da yaqinlashadimi?
Teorema shuni bildiradiki, R dagi har bir chegaralangan ketma-ketlik konvergent quyi qatorga ega. R ning kichik toʻplami ekvivalent formuladir. agar u yopiq va chegaralangan boʻlsa, ketma-ket ixcham boʻladi. Teorema ba'zan ketma-ket ixchamlik teoremasi deb ataladi.
Haqiqiy sonlarning har bir chegaralangan ketma-ketligi konvergentmi?
Javob va tushuntirish: (a) Har bir chegaralangan ketma-ketlik konvergentmi? Yoʻq.
Har bir cheklangan monotonik ketma-ketlik yaqinlashadimi?
(−1)n, converge kabi barcha chegaralangan ketma-ketliklar emas, lekin agar biz chegaralangan ketma-ketlik monoton ekanligini bilsak, bu o'zgaradi. agar barcha n ∈ N uchun an ≥ an+1 bo'lsa. Ketma-ketlik monoton bo'ladi, agar u ortib borayotgan yoki kamayayotgan bo'lsa. va chegaralangan, keyin birlashadi.
Barcha chegaralangan ketma-ketliklar konvergent quyi ketma-ketlikka egami?
Bolzano-Veyershtras teoremasi: Rn dagi har bir chegaralangan ketma-ketlik konvergent quyi ketma-ketlikka ega. ning {xmk } - haqiqiy sonlarning chegaralangan ketma-ketligi, shuning uchun u ham konvergent quyi ketma-ketlikka ega, … Aksincha, har bir chegaralangan ketma-ketlikyopiq va chegaralangan toʻplam, shuning uchun u konvergent quyi qatorga ega.
